Exercice applicatif : définition d'un état limite et indice de Cornell #4
On considère le portique ci-dessous dans une étude en analyse limite (issus de RIME PL97-2220, projet européen, Deliverable D6, 2003). Il est sollicité par un effort horizontal H et un effort vertical P. On identifie 7 sections potentielles de plastification pour lesquelles la résistance (moment plastique) est notée Mpi.
On étudie deux mécanismes élémentaires : la poutre 3-4-5 et la panneau 1-2-6-7. Pour chacun d'eux, le mécanisme est défini comme l'égalité du travail des forces extérieures et du travail des efforts internes. D'où les équations d'état limite :
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Pour la poutre : - Mp3 + 2 Mp4 + Mp5 = P L
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Pour le panneau, on obtient : - Mp1 + Mp2 - Mp6 + Mp7 = H L
On considère que toutes les variables suivent des lois normales, dont les paramètres peuvent être déduits des grandeurs figurant dans le tableau ci-dessous.Les résistances des sections 1, 2, 6 et 7 sont complètement corrélées (coefficient de corrélation unité) et indépendantes des sections 3, 4 et 7. La probabilité jointe des marges de sécurité suit alors une loi normale. On utilise alors l'indice de fiabilité de Cornell.
Question
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Représenter le schéma en système si on ne prend en compte que les deux mécanismes de ruine ;
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Montrer que le problème en fiabilité peut s'exprimer sous la forme de l'étude des marges M1 = Mp1 + Mp2 + Mp6 + Mp7 - H L et M2 = Mp3 + 2 Mp4 + Mp5 - P L ;
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Montrer que la matrice de corrélation est de dimension 9x9 après avoir déterminé la dimension du vecteur Z des variables. Déterminer la matrice de corrélation et en déduire la matrice de variance covariance. En déduire celle du vecteur marge M à partir de la relation vectorielle M = A Z, où l'on déterminera A ;
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En déduire les valeurs des indices de fiabilité des marges M1 et M2 ainsi que les probabilités de défaillance.
