Estimation de la fiabilité
Les méthodes de fiabilité de niveau II avancé peuvent être appliquées lorsque sont connues à la fois, les distributions des variables de base, et la surface d'état limite g(z). La mesure de la fiabilité est donnée par "la probabilité de survie" :
De manière générale, cette intégrale ne peut être calculée analytiquement, et on se retrouve dans la même situation que pour les méthodes de niveau III. On préfère alors avoir recours aux indices de fiabilité pour donner une approximation de Pf suffisamment précise et adaptée au type de problème envisagé.
Problème linéaire avec variables gaussiennes
Lorsque les variables de base suivent une loi de distribution jointe normale, et que la surface de rupture est un hyperplan (g(z) linéaire), la probabilité de rupture se calcule simplement suivant l'équation :
Problème non linéaire avec variables gaussiennes
Si la surface de ruine n'est pas un hyperplan, mais que les variables de base sont de loi normale, on obtient une bonne approximation de la probabilité de ruine en utilisant l'indice de fiabilité d'Hasofer-Lind :
Cette approximation consiste à se ramener au cas précédent en approchant la surface de rupture, au voisinage du point de fonctionnement (ou point de rupture le plus probable), par un hyperplan.
Méthode FORM
En général, les variables ne sont pas normales et la surface de ruine n'est pas linéaire. Cependant, les deux cas précédents ont montré que l'on peut calculer facilement la probabilité de rupture à partir de l'indice de fiabilité. Ayant alors déterminé l'indice d'Hasofer-Lind, on linéarise la surface de ruine au point de fonctionnement P*:
La probabilité de ruine est alors donnée par :
Ce calcul donne une approximation au premier ordre de la probabilité de ruine. Pour cette raison, cette méthode est appelée FORM (First-Order Reliability Method).
La figure suivante illustre l'approche avec la fonction d'état limite g(u1,u2)=5-(u1-0,1)2/2-u2. Les traces g(u1,u2)=0 et L(u1,u2)=0 sont représentées. Le point de fonctionnement a pour coordonnées u*1=-2,74 et u*2=0,96. Le valeur de la probabilité FORM est 0,0018, qui dans le cas présent est une estimation par défaut, la concavité de la surface de ruine étant tournée vers le domaine de sécurité.
Ouvrages généraux :
Madsen H. O., Krenk S., Lind N. C. "Methods of Structural Safety", Editions Prentice - Hall, 1986.
Ditlevsen O., Madsen H. O. "Structural reliability methods", Editions Wiley & Sons, Chichester, 1996.
Faber M.H. "Risk and Safety", Lectures Notes, SFIT, 2003.
