Axiomes et propositions
La probabilité d'occurrence d'un événement E est notée où représente toutes les informations antérieures permettant d'estimer cette probabilité. Cela revient à exprimer la dépendance de l'estimation à l'égard de l'état de connaissance ou d'ignorance que l'on a sur l'événement E. Pour simplifier, on note plus simplement P(E) la probabilité pour que l'événement se produise.
Propriétés :
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P(E) est un nombre variant entre zéro et un : 0 ≤ P(E) ≤ 1.
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La probabilité d'un événement inévitable est la valeur unité, celle d'un évènement impossible est la valeur nulle.
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La probabilité pour que E1 ou E2 se produisent est (évènements incompatibles ou non) :
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Pour deux évènements compatibles (exemple : carte rouge et valet), la probabilité pour que E1 et E2 se produisent est :
si E1 et E2 sont indépendants alors l'occurrence d'un des évènements ne change pas la probabilité pour que l'autre événement se produise, ce qui se traduit par :
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La probabilité pour que l'évènement , noté également Ec, complémentaire à E se produise est :
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Etant donnés n évènements E1,..., En mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs (c'est-à-dire décrivant toutes les éventualités possibles), la probabilité pour qu'un autre événement A se produise est :
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Le théorème de Bayes découle de cette dernière propriété : la probabilité pour que A et Ei se produisent est
d'où :
Au second membre P(Ei) est la probabilité a priori de Ei, et le rapport de la probabilité conditionnelle de A, le résultat de Ei étant acquis, P(A|Ei), à la probabilité de A, P(A), est appelé rapport de vraissemblance. Le premier membre, probabilité de Ei le résultat de A étant acquis, P(Ei|A), est appelée probabilité a posteriori. Cette formule permet de faire de la mise à jour de probabilités à partir de résultats de mesures (inspections de structures notamment).
Un exemple classique est celui d'un ensemble de trois usines A1, A2, A3 fabricant des composants avec des taux de rejet . Un échantillon de n composants est prélevé sur l'ensemble des usines avec les proportions de provenance de chaque usine. On note les évènements suivants :
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B : un composant défaillant est tiré parmi n composants de l'échantillon ;
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Ai : le composant provient de l'usine Ai ;
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: un composant défaillant venant de l'usine Ai est tiré parmi n composants.
La probabilité a priori qu'un composant de l'échantillon provienne de l'usine Ai est . La probabilité de tirer un composant défaillant de l'échantillon sachant qu'il provient de l'usine Ai est , le taux de rejet étant a priori le même dans l'échantillon prélevé que sur l'ensemble de la fabrication de l'usine. Ainsi la probabilité de tirer un composant défaillant de l'échantillon est . La probabilité a posteriori que le composant défaillant tiré provienne de l'usine Aj est alors .
Ouvrages généraux :
Saporta G. "Probabilités, analyse des données et statistiques", Editions Technip, 2006.
