Exercice démonstratif : variables aléatoires

D'après la définition v(a M)=E( (a M)2) - E(a M)2, soit V(a M) = E(a2M2) - E(a M)2. Avec a non aléatoire E(a M) = a E(M), donc V( a M) = a2 E(M2) - (a E(M))2 = a2 (E(M2) - (E(M))2) = a2 V(M).

E(M - µM)2 = E(M2 - 2M µM + µM2) = E(M2) - 2 E(M) µM + µM2 = E(M2) - 2 µM µM + µM2 = E(M2) - E(M)2

V(M) = V(R-S) = E((R-S)2) - E(R-S)2, d'où en développant: V(M) = E(R2-2RS+S2) - (E(R)-E(S))2 = E(R2) - 2E(RS) + E(S2)- E(R)2 + 2E(R)E(S) - E(S)2. On sait que E(RS) = E(R)E(S), d''où V(M) = (E(R2) - E(R)2) + ( E(S2) - E(S)2) = V(R) + V(S)

• E(u) = E((m-E(M)) / V(M)1/2) = E(m - E(M)) / V(M)1/2 = 0.

• V(u) = E(((m-E(M)) / V(M)1/2)2) - E((m-E(M)) / V(M)1/2)2 = E(((m-E(M)) / V(M)1/2)2) = E((m-E(M))2 / V(M) ) = E((m-E(M))2) / V(M) = V(M) / V(M) = 1