Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance au risque spécifie l'intervalle dans le lequel se situe un estimateur statistique avec une probabilité égale à . Les caractéristiques d'un intervalle de confiance dépendent de la loi de probabilité supposée des données et des paramètres supposés connus avec certitude (certains) de cette loi. Pour des données supposées normales, on peut préciser ce qui suit.
Intervalle de confiance de la moyenne d'une distribution normale de variance connue
Si désigne la valeur d'une variable normale centrée réduite U telle que , alors l'intervalle de confiance au risque est
Intervalle de confiance de la moyenne d'une distribution normale de variance inconnue
Si désigne la valeur d'une variable T suivant une loi de Student à (n-1) degré de liberté telle que , alors l'intervalle de confiance au risque est
Intervalle de confiance de la variance d'une distribution normale
Si et désignent les valeurs d'une variable suivant la loi du khi2 à (n-1) degrés de liberté respectivement telles que et , alors l'intervalle de confiance au risque est
On dispose d'une série de mesures de profondeur de carbonatation du béton constitutif d'éléments de voussoir de tunnel (en mm). Dix mesures sont effectuées sur chacune des carottes extraites. On peut choisir de considérer chaque mesure comme représentative du matériau, et indépendante des autres mesures, y compris de celles opérées sur la même carotte : chaque mesure constitue dans ce cas une donnée (cas A). On peut a contrario supposer que les mesures provenant d'une même éprouvette ne sont pas indépendantes à cause du système de mesure : dans ce cas c'est la moyenne des mesures pour une carotte qui constitue une donnée (cas B). Dans les deux cas, on suppose ne connaître ni l'espérance mathématique de la distribution, ni sa variance.
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Dans le cas A (totalité des mesures, soit n=470), on obtient mX=2,09 et sX=0,55, avec les intervalles de confiance au risque 10% : 2,04<E(X)<2,14 et 0,52<V(X)<0,58
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Dans le cas B (mesures moyennées, soit n=47), on obtient mX=2,09 et sX=0,39, avec les intervalles de confiance au risque 10% : 1,98<E(X)<2,21 et 0,34<V(X)<0,48
Dans le cas B la réduction de la dispersion des données, traduite par un coefficient de variation CVX=sX/mX=18,7% plus faible que celui obtenu dans le cas A (26,1%), ne doit pas occulter que les estimateurs obtenus présentent néanmoins plus d'incertitude, puisque les intervalles de confiance sont plus lâches que dans le cas A. On voit ici qu'il est nécessaire d'associer des intervalles de confiance aux estimateurs statistiques, et que la confiance qu'on peut leur accorder est toute illusoire si la taille de l'échantillon est petite.
Ouvrages généraux :
Saporta G. "Probabilités, analyse des données et statistiques", Editions Technip, 2006.
Mansour A. "Probabilités et statistiques pour les ingénieurs", Editions Hermes, 2007.
