Exercice 4.1 : Optimisation économique : Cas de la submersion d'un batardeau.
Durant les travaux de fondation en rivière d'une pile de pont, on construit un batardeau provisoire, de façon à effectuer les travaux à sec. Le coût de construction du batardeau augmente avec sa hauteur H au-dessus de la côte de référence de la rivière et s'exprime sous la forme :
Le batardeau peut être submergé à la suite d'une surcôte h de la rivière. La probabilité d'occurrence des surcôtes (pendant la durée des travaux) résulte d'une analyse statistique des données hydrologiques. Elle est fournie sous la forme d'une loi exponentielle :
Cette probabilité est d'autant plus faible que H est élevée. Elle est égale à l'unité si H = 0, et tend vers zéro quand H tend vers l'infini.
En cas de submersion les coûts de pompage et de retard sont évalués à :
On analysera aussi le cas où la submersion peut provoquer des victimes.
Question
-
Quelle est la valeur de H qui minimise le coût généralisé de l'ouvrage ?
-
Que devient cette valeur optimale si la submersion risque de provoquer des victimes ? On étudiera le cas où la probabilité d'avoir des victimes en cas de submersion est de 10 % et le nombre moyen de victimes est de 5.
