Exercices de Files d'Attente

Un garagiste possède une station-service dans laquelle il assure, grâce à l'existence d'un pont élévateur, les opérations courantes de vidange, graissage, révision, etc.

Concernant l'exploitation de cette station, le garagiste est capable, grâce à son expérience et à la comptabilité qu'il tient avec précision, de donner les renseignements suivants:

• pendant les quatre derniers mois, qui représentent bien, à son avis, la marche normale de la station, le nombre de clients qui ont demandé un travail sur leur voiture, s'est réparti chaque jour de la façon suivante:

  Nombre journalier de clients demandeurs	Nombre de fois où on a constaté ce nombre de demandes
  moins de 5	7
  6 à 10	24
  11 à 15	48
  16 à 20	20
  21 à 25	1
  plus de 25	0

• les possibilités de stationnement autour de la station sont pratiquement illimitées: si donc les voitures des clients doivent attendre avant d'être servies, il n'y a pas de limitation dans la file d'attente ainsi créée,

• la durée moyenne pendant laquelle une voiture occupe le pont est de 40 minutes,

• la station est ouverte 10 heures / jour,

• la contribution moyenne au bénéfice de l'entreprise est de 50 € par client.

1. On vous demande de fournir les renseignements suivants :

   • quel est le type de la loi d'arrivée des clients, ainsi que ses paramètres ?

   • quel est le type de la file d'attente considérée ?

   • quel est le nombre moyen de voitures dans la station-service en comptant les voitures en attente et celle qui est sur le pont ?

   • quelle est la durée moyenne de séjour d'une voiture dans la station ?

   • quel est le nombre moyen de voitures en attente ?

   • quelle est la durée moyenne de l'attente d'une voiture ?

   • quel est le bénéfice journalier du garagiste ?

2. Un arrêté préfectoral interdit subitement le stationnement sur la chaussée et le trottoir; mais le garagiste peut heureusement garer encore jusqu'à quatre voitures dans ses locaux ; par contre, si des clients arrivent alors que son parc est complet, il est obligé de les refuser.

   Rechercher les nouvelles caractéristiques du phénomène d'attente et évaluer l'influence des nouvelles dispositions préfectorales sur le bénéfice du garagiste. Combien renvoie-t-il de clients par jour ?

3. La nouvelle situation du garagiste le pousse à se poser la question suivante : est-il intéressant de sacrifier deux des quatre places du parc de stationnement pour installer un nouveau pont élévateur, ce qui lui permettrait de servir deux clients simultanément ? Le coût de cette construction s'élève à 80 000 €. Le bénéfice sur chaque client traité reste de 50 €, la main d'oeuvre nécessaire au fonctionnement simultané des deux ponts n'entraînant pas de coûts fixes supplémentaires journaliers. Le garagiste estime ce projet intéressant dans la mesure où cette dépense lui est remboursée par les bénéfices supplémentaires obtenus en moins de cinq ans.

   Analyser ce nouveau phénomène aléatoire et comparer le au précédent.