Considérons un cercle de centre O et de rayon U_M .

• Traçons le vecteur tel que : OP = U_M et et projetons le vecteur sur l'axe (Oy), on a : Op₀ = U_M .sin( j ) = u(t=0)

• Sur un second graphique placé à côté du premier, reportons Op₀ = u(t) sur l'axe vertical

• Faisons tourner à w. A t = t₁, a tourné de w .t₁ , projetons comme précédemment, on a : Op₁ = U_M . sin( w t₁ + j ) = U_M

• Plaçons cette projection sur le second graphique et ainsi de suite, la projection du vecteur tournant donne la fonction sinus u(t).

II-1-2 Valeur efficace complexe

Considérons le vecteur de Fresnel qui représente une tension sinusoïdale u = U_M . sin( w t₁ + j )

peut être décomposé sur les axes selon et .

En considérant le plan complexe (O, i , j ), superposé au plan cartésien (O, x, y) on a :

• Op = U.sin( j ) sur l'axe imaginaire
• Oq = U.cos( j ) sur l'axe réel

Tout vecteur de Fresnel peut être représenté par un nombre complexe noté U

tel que U = U.[cos( j ) + j.sin( j )]

Ce nombre complexe est appelé valeur efficace complexe de u, on la note : U = U.e ^jj

Vecteur de Fresnel décomposé

II-2 Impédance complexe

Cette notion est introduite lorsque les grandeurs courants et tensions sont sinusoïdales.

Alimentons un dipôle formé de l'association d'une résistance R, d'une inductance L et d'un condensateur C par un générateur de tension sinusoïdale u.

Observons l'allure du courant i qui passe dans le dipôle.

Le courant est sinusoïdal, de même période (ou fréquence) que la tension appliquée u.

Il est décalé en arrière par rapport à u, ce décalage est appelé le déphasage j entre u et i.

Faisons varier l'amplitude U_M de u en gardant la fréquence constante, on constate que i garde la même allure, l'amplitude I_M de i varie dans les mêmes proportions que U_M et le déphasage j entre u et i reste le même (voir courbes ci-contre).

Le courant est proportionnel à la tension et le déphasage est constant.

On dit que le dipôle est linéaire.

Les valeurs U_M et I_Métant proportionnelles, on peut poser : U_M = Z.I_M

Ou bien avec les valeurs efficaces : U = Z.I

Z est appelée l'impédance du dipôle.

Nous venons de voir que toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) peut être représentée par sa valeur efficace complexe notée U (pour une tension) ou I (pour un courant).

à u = U_M .cos( w t) correspond U = U ce qui correspond à U prise comme origine des phases

à i = I_M .cos( w t – j ) correspond I = I.e^-jj

Comme on a : U = Z.I , on en déduit U = U= Z . I /e^-jj soit encore: U = Z.e ^{+j j} . I . >On définit alors l'impédance complexe Z telle que : Z = Z.e ^{+j j}

Tout dipôle passif linéaire pourra être défini par une impédance complexe.