11 Représentation graphique de cycles dans le diagramme (h, ln(P))

Nous allons maintenant expliquer comment tracer dans le diagramme (h, ln(P)) les cycles de la centrale à vapeur et de la machine de réfrigération. Nous supposerons ici que les compressions et détentes sont parfaites, c'est-à-dire suivent des adiabatiques réversibles.

Sur le plan pratique, les activités proposées dans cette section devraient être faites à la main, les élèves disposant de diagrammes sur papier. Ceux-ci peuvent être soit imprimés directement à partir de Thermoptim, mais leur précision n'est pas très grande, soit obtenus dans le commerce ou dans des ouvrages spécialisés.

Nous n'avons pas encore précisé les données numériques relatives à ces cycles. Nous allons le faire maintenant, en choisissant des valeurs facilement représentables, et les construire pas à pas dans ce diagramme.

Nous ne chercherons pas à représenter le cycle de la turbine à gaz pour deux raisons : d'une part parce que les diagrammes (h, ln(P)) des gaz sont peu utilisés en pratique, et d'autre part parce que l'estimation des propriétés thermodynamiques des produits de combustion demande des précautions particulières. A notre sens il est beaucoup plus simple pour un non spécialiste de directement modéliser la machine avec un outil comme Thermoptim, et le tracé du cycle dans un diagramme ne s'impose pas toujours.

Au point 1 en sortie de condenseur (figure ci-dessous), l'eau est à l'état liquide, à une température d'environ 27 °C, sous une faible pression (0,0356 bar). Sur la figure, le point est facile à repérer, à l'intersection de l'isotherme T = 27 °C et de la courbe de saturation.

La pompe la comprime à environ 128 bar, ce qui représente un rapport de compression considérable (de l'ordre de 3600).

La température T restant sensiblement constante pendant la compression (1- 2) le point 2 se situe à l'intersection de l'isotherme T = 27 °C et de l'isobare P = 128 bar (horizontale d'ordonnée 128 bar).

L'eau sous pression est ensuite portée à haute température dans la chaudière, l'échauffement comportant les trois étapes suivantes :

• chauffage du liquide de près de 27 °C à environ 330 °C, juste au-dessus de l'isotherme T = 327 °C, température de début d'ébullition à 128 bar : évolution (2-3a). Le point 3a se trouve sur la courbe de vaporisation cette même isobare ;

• vaporisation à température constante 330 °C : évolution (3a-3b). La vaporisation s'effectuant à pression et température constantes, elle se traduit sur le diagramme par un segment horizontal 3a-3b. Le point 3b se trouve donc sur la branche descendante de la courbe de vaporisation, ou courbe de rosée, à son intersection avec la droite horizontale de pression 128 bar ;

• surchauffe de 330 °C à 447 °C : évolution (3b-3). Le point 3 est encore par hypothèse à la même pression, mais à une température T3 de 447 °C. Il se trouve donc à l'intersection de l'horizontale P = 128 bar et de l'isotherme T = 447 °C (représentée uniquement partiellement sur la figure).

Le point 3 se trouve par ailleurs sur une courbe inclinée à concavité tournée vers le bas correspondant à une adiabatique réversible.

L'évolution (3-4) est une détente adiabatique réversible de 128 bar à 0,0356 bar. Le point étant dans la zone mixte, cette dernière est confondue avec l'isotherme T = 27 °C. Le point 4 est donc à l'intersection de la courbe inclinée à concavité tournée vers le bas et de cette isotherme. Son titre x est compris entre 0,7 et 0,8. Par interpolation linéaire on peut l'estimer égal à 0,72.

Comme on le voit sur cet exemple, la représentation du cycle dans le diagramme (h, ln(P)) est très parlante sur le plan physique : les échanges de chaleur, quasiment isobares, correspondent aux segments horizontaux, et les compressions et les détentes sont des adiabatiques réversibles, d'autant moins pentues que l'on s'écarte de la zone liquide.

Les enthalpies des points peuvent être directement lues en projetant ces différents points sur l'axe des abscisses. Le tableau ci-dessous fournit ces valeurs.

Etat des points du cycle

point	débit (kg/s)	h (kJ/kg)
1	1	113
2	1	126
3a	1	1524
3b	1	2672
3	1	3189
4	1	1870

Les énergies mises en jeu dans chacune des transformations se déduisent par simple différence des enthalpies des points et conduisent au tableau ci-dessous. Notons que la lecture dans ce diagramme du travail de compression est très imprécise et qu'il est préférable de l'estimer à partir de l'intégration de = v dP, très facile à effectuer, v étant constant. Il vaut donc = v , P étant exprimé en Pa.

Enthalpies mises en jeu

transformation	(kW)	Q (kW)	(kW)
(1-2)	13		13
(2-3a)		1398	1398
(3a-3b)		1148	1148
(3b-3)		517	517
(3-4)	-1319		-1319
(4-1)		-1757	-1757
cycle	-1306	1306

Le rendement est ici le rapport du travail mécanique produit à la chaleur fournie par la chaudière. Il est égal à 42,6 %.

Nous ne détaillerons pas ici les calculs à effectuer pour prendre en compte les irréversibilités qui prennent place dans la turbine. Ils sont expliqués dans la présentation allégée complète .

Le cycle de réfrigération par compression de R134a (figure ci-dessous) fonctionne entre une pression d'évaporation de 1,78 bar et une pression de condenseur de 12 bar.

Au point 1, en sortie d'évaporateur, le fluide est entièrement vaporisé, et donc à l'intersection de la courbe de saturation et de l'isobare P = 1,78 bar, ou, ce qui revient au même, de l'isotherme T = - 13 °C.

Il est ensuite comprimé jusqu'à 12 bar en suivant une compression adiabatique réversible. Le point 1 se situant à peu près au tiers de la distance qui sépare deux adiabatiques réversibles, on peut par interpolation linéaire, déterminer le point 2 qui se situe sur l'isobare P = 12 bar, entre ces deux courbes.

Le refroidissement du fluide dans le condenseur par échange avec l'air extérieur comporte deux étapes : une désurchauffe (2-3a) dans la zone vapeur suivie d'une condensation selon le segment de droite horizontal (3a-3). Les points 3a et 3 se situent à l'intersection de la courbe de saturation et de l'isobare P = 12 bar, ou, ce qui revient au même, de l'isotherme T = 47 °C. Le point 3a est situé sur la droite, à la limite de la zone vapeur, et le point 3 à gauche, à la limite de la zone liquide.

La détente sans travail, et donc isenthalpique, correspond au segment vertical (3-4), le point 4 étant situé sur l'isobare P = 1,78 bar, ou, ce qui revient au même, l'isotherme T = - 13 °C, à l'abscisse h = h3. Son titre se lit directement sur l'iso-titre correspondante : il vaut x = 0,4.

Les énergies mises en jeu peuvent être facilement déterminées en projetant ces différents points sur l'axe des abscisses. Le tableau ci-dessous fournit ces valeurs.

Etat des points du cycle

point	débit (kg/s)	h (kJ/kg)
1	1	391
2	1	430
3a	1	422
3	1	266
4	1	266

Les énergies mises en jeu dans chacune des transformations se déduisent par simple différence des enthalpies des points et conduisent au tableau ci-dessous.

Enthalpies mises en jeu

transformation	(kW)	Q (kW)	(kW)
(1-2)	40		40
(2-3a)		-8	-8
(3a-3)		-157	-157
(3-4)
(4-1)		125	125
cycle	40	-40

Ceci permet notamment de calculer le coefficient de performance du cycle (COP), défini comme le rapport de l'effet utile (la chaleur extraite à l'évaporateur) à l'énergie payante (ici le travail du compresseur). Il vaut 3,14.

Ce cycle s'écarte de celui d'une machine réelle sur plusieurs points. Ils sont expliqués dans la présentation allégée complète .