Analyse de la « durée de vie » des cylindres de laminoirs dans une entreprise sidérurgique
On considère une aciérie qui fabrique des bobines de produits plats. Pendant leur traversée du laminoir à chaud et du laminoir à froid, les bobines d'acier sont entraînées, compressées et traitées en surface par des cylindres dont la dureté, le diamètre et la granularité de leur surface sont choisis de manière à obtenir exactement les bobines d'acier nécessaire à la production (en état de surface et épaisseur). On regroupe les bobines d'acier qui peuvent être traitées avec les mêmes cylindres en groupe de bobines et on change les cylindres entre deux groupes qui ne demandent pas les mêmes qualités de cylindres.
Lorsqu'un cylindre est démonté de la ligne pour être remplacé par un autre cylindre, selon son état et selon les demandes en fabrication à venir, on décide, ou bien de le conserver en état pour l'utiliser ultérieurement, ou bien de le passer à la rectifieuse et à la graveuse de manière à pouvoir l'utiliser pour un traitement différent ou pour le même traitement (après remise en état).
En fait, le phénomène est un peu plus compliqué, car les cylindres s'usent progressivement et leur diamètre diminue au fur et à mesure des rectifications successives et des gravages. A l'achat, les cylindres ont un diamètre maximum et peuvent être utilisés aux endroits qui nécessitent des cylindres de diamètre supérieur à do : il s'agit de la classe de cylindres C0. Selon les durées d'utilisation pour le laminage de bobines et en raison d'incidents aléatoires qui abîment plus ou moins les cylindres, les rectifications font descendre ou non le diamètre du cylindre à une valeur strictement inférieure à do. Le cylindre appartient alors à la classe C1 tant que son diamètre reste supérieur à d1, puis l'usure ou les incidents peuvent le faire passer à la classe C2 (diamètre supérieur à d2) ou même directement à la classe C3 qui est un état absorbant (le cylindre est alors vendu à un ferrailleur ou recyclé dans les convertisseurs de l'aciérie).
On voudrait savoir, en moyenne, combien de temps les cylindres passent dans chacune des phases transitoires avant de terminer dans l'état absorbant. Pour cela, on a fait des statistiques sur l'évolution de l'état des cylindres et on en a déduit les probabilités suivantes :
Lorsqu'un cylindre est dans la classe C0 et qu'on l'utilise pour traiter un groupe de bobines, on a la probabilité μo d'avoir un incident ou une usure importante qui le fasse passer de la classe C0 à la classe C1 et la probabilité
de rester dans la classe C0.
Lorsqu'un cylindre est dans la classe C1 et qu'on l'utilise pour traiter un groupe de bobines, on a la probabilité
d'avoir un incident ou une usure importante qui le fasse passer de la classe C1 à la classe C2, la probabilité
d'avoir un incident plus important qui le fasse passer directement de la classe C1 à la classe C3 et la probabilité
de rester dans la classe C1.
Lorsqu'un cylindre est dans la classe C2 et qu'on l'utilise pour traiter un groupe de bobines, on a la probabilité
d'avoir un incident ou une usure importante qui le fasse passer de la classe C2 à la classe C3 et la probabilité
de rester dans la classe C2.
Toutes ces probabilités sont strictement comprises entre 0 et 1.
Travail Demandé
Fournir la chaîne de Markov associée à ce phénomène d'usure de cylindre de deux façons équivalentes : en dessinant le graphe valué correspondant (attention, ici il faut représenter toutes les boucles) et en donnant la matrice de transition associée à la chaîne de Markov (conserver l'ordre des numéros des classes pour la numérotation des lignes et des colonnes).
Compléter la matrice fondamentale N associée à cette chaîne de Markov absorbante en fournissant les formules permettant de calculer N02 et N12 en fonction de
,
,
et
.
Calculer ensuite, selon les notations du polycopié, la matrice N.R. Expliquer ce résultat.
En considérant un cylindre que l'on vient juste d'acheter, quel est le nombre moyen de groupes de bobines que l'on peut espérer traiter avec ce cylindre dans le laminoir qui utilise les cylindres de la classe 0 ? Quel est ensuite le nombre moyen de groupes de bobines que l'on peut espérer traiter avec ce cylindre dans le laminoir qui utilise les cylindres de la classe 1 ? Même question pour ceux de la classe 2.
Application numérique facultative :
.
