Ch.3 Le Contrôle Statistique

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Statistiques > Ch.1: Probabilités et Variables Aléatoires Ch.2: La Loi Normale Ch.3: Le Contrôle Statistique Ch.4: L'estimation Statistique Ch.5: Comparaisons Statistiques Ch.6: Faits et Modèles Ch.7: La Régression Linéaire Ch.8: L'Expérimentation Statistique

Le Contrôle Statistique

Le contrôle de la qualité constitue sans doute le poste le plus important de l'entreprise moderne. Les méthodes de fabrication à la chaîne exigent une parfaite interchangeabilité entre les innombrables pièces fabriquées en série. Un tel résultat ne peut être atteint que si les spécifications imposées sont rigoureusement respectées. A ce premier objectif de qualité s'en ajoute un second qui semble s'opposer au précédent, celui de l'économie. La qualité voudrait qu'on se livre à un examen minutieux de la fabrication ; l'économie exige qu'on réduise au maximum tous les frais, en particulier ceux du contrôle qui peuvent constituer une part très importante du prix de revient. Cela fait apparaître la nécessité de substituer à une inspection à 100% des pièces fabriquées, un contrôle par échantillonnage, ou contrôle statistique qui devient d'ailleurs inévitable lorsqu'on doit procéder à des essais destructifs : résistance des matériaux, par exemple. Il importe, dès lors, de rechercher des modes de contrôle qui permettent à la fois de prélever un nombre de pièces aussi faible que possible, et de déterminer aussi bien que possible la qualité d'un lot.

1 - Distribution D'échantillonnage

Population

En statistique, on appelle population un ensemble d'éléments caractérisés par un critère permettant de les identifier sans ambiguïté. Chacun des éléments est appelé individu. Ces appellations sont liées aux origines démographiques de la statistique. On parlera, par exemple, de la population des axes usinés sur telle machine-outil pendant telle période, en s'intéressant d'ailleurs, non pas aux individus en tant que tels, mais à une ou plusieurs de leurs caractéristiques.

Chacune des caractéristiques sur laquelle on décide de faire porter l'observation est appelée variable (ou caractère). Il importe de faire ici une distinction entre deux types de variables et par conséquent, deux catégories de populations :

• Populations à caractéristiques qualitatives. Pour des axes, par exemple, on distinguera entre pièces satisfaisantes et pièces défectueuses. On se trouve dans ce cas chaque fois qu'un contrôle s'effectue par calibre, c'est-à-dire que l'on distingue, par exemple, les axes dont le diamètre appartient ou n'appartient pas à un certain intervalle admissible appelé intervalle de tolérance.
• Populations à caractéristiques quantitatives (ou mesurables). Dans l'exemple des axes, on peut mesurer le diamètre des axes et classer les pièces suivant les valeurs qu'il peut prendre.

La notion de population n'est pas toujours très facile à définir avec précision. Si on considère, par exemple, la production journalière d'une machine-outil, on peut, de prime abord, parler de la population des pièces produites ; mais, au cours de la journée, la machine a pu se dérégler, l'ouvrier qui surveille la fabrication a peut-être procédé à un réglage, etc. Il n'est donc pas du tout évident que l'ensemble de la production journalière constitue une population unique et bien homogène.

Un autre type de difficulté peut se présenter pour définir la population. Supposons, par exemple, que la variable étudiée soit la résilience de l'acier des lingots d'une certaine coulée. L'individu, c'est-à-dire l'élément sur lequel on effectue la mesure est une éprouvette d'acier découpée et usinée suivant certaines modalités. Pour définir la population, il faut se référer à l'ensemble infini de toutes les éprouvettes susceptibles d'être réalisées dans les mêmes conditions à partir des lingots étudiés.

Echantillon

Une partie essentielle de la statistique, consiste à porter des jugements sur une population à partir d'échantillons ; c'est ce qu'on appelle l'inférence statistique. Un échantillon est un ensemble d'individus prélevés, suivant un procédé bien défini, dans l'ensemble plus important constitué par la population. Le nombre d'individus prélevés s'appelle la taille de l'échantillon, que nous noterons généralement n. Tous les résultats statistiques établis sur les échantillons impliqueront que ces derniers sont représentatifs de la population dont ils proviennent. C'est le cas s'ils ont été prélevés au hasard, c'est à dire que tous les individus de la population avaient la même probabilité de faire partie de l'échantillon effectivement prélevé. En pratique, l'obtention d'échantillons au hasard présente un certain nombre de difficultés qui peuvent être levées si l'on peut numéroter chacun des individus de la population et qu'on a alors recours à une table de nombres au hasard.

Dans toute la suite, nous admettrons que les échantillons sont prélevés de façon non exhaustive ou bien que la taille de la population est suffisamment importante devant celle de l'échantillon pour que l'on puisse se ramener à ce cas.

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Caractéristiques Des Échantillons

Nous désignerons par la notation x₁, x₂,... , x_i ,... , x_n, les valeurs prises par la variable pour chacun des individus constituant l'échantillon, ce qu'on appelle une série d'observations. Les séries d'observations peuvent être caractérisées par un certain nombre de valeurs typiques que nous allons définir.

1. Caractéristiques de tendance centrale

   On appelle caractéristique de tendance centrale, une fonction des observations dont la valeur est comprise entre les valeurs extrêmes de la série. La plus couramment utilisée est la moyenne arithmétique :

   m = 1/n ∑i=1n xi

   qui est très facile à calculer et possède d'importantes propriétés théoriques, par ailleurs assez faciles à établir. La moyenne, toutefois, possède l'inconvénient d'être très sensible au retrait ou à l'ajout d'une observation "aberrante" : on dit que c'est une statistique peu robuste.

   Une caractéristique de tendance centrale plus robuste est la médiane dont les propriétés théoriques, par contre, sont plus compliquées à manipuler que pour la moyenne. Lorsqu'on a classé les observations par ordre de grandeurs croissantes, la médiane est la valeur de l'observation qui se trouve au rang (n+1)/2 , si n est impair. Si n est pair (n = 2p), c'est le milieu de l'intervalle [x_p, x_p+1].

   De façon plus générale, on définit les quantiles. Par exemple les déciles : le premier décile est la valeur telle qu'il y ait 10 % des observations en dessous d'elle, le neuvième décile est la valeur telle qu'il y ait 10 % des observations au dessus d'elle. De même, les quartiles : le premier et le troisième quartiles laissent respectivement 25 % et 75 % des observations en dessous d'eux et la médiane est donc le deuxième quartile.

2. Caractéristiques de dispersion

   On appelle caractéristique de dispersion, une fonction des observations dont la valeur rend compte du plus ou moins grand étalement des valeurs observées autour de leur tendance centrale. On appelle étendue w d'une série d'observations, l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :

   w = xmax- xmin

   dont le principal avantage est la simplicité de calcul, mais qui est, par contre, extrêmement peu robuste.

   On appelle variance s² d'une série d'observations, la quantité qui est définie par la relation :

   s² = 1/n ∑i=1n (xi-m)²

   et qui mesure l'écart moyen quadratique entre les observations et leur moyenne. Elle joue un rôle très important dans toute la statistique mathématique. Pour la calculer, on notera l'incontournable relation :

   s² = 1/n (∑i=1n xi² - 2m ∑i=1n xi +n m²) = 1/n ∑i=1n xi² - m²

   que l'on mémorisera facilement en retenant que : la variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

   La racine carrée s de la variance est appelée l'écart-type :

   s = √(1/n ∑i=1n (xi-m)²)

   Variance et écart-type sont assez peu robustes. Plus favorable, de ce point de vue, on peut calculer l'écart absolu moyen e des observations à leur moyenne :

   e = 1/n ∑i=1n |xi-m|

   Enfin, une caractéristique de dispersion extrêmement robuste est la distance interquartile : écart entre le troisième quartile Q 3 et le premier quartile Q₁ :

   IQ = Q3 - Q1

Distribution D'échantillonnage

On appelle population de référence ou modèle, une population définie par une loi de probabilité P(x) pouvant être considérée comme à l'origine des résultats observés, c'est-à-dire telle que la probabilité pour que la variable étudiée prenne une valeur dans un certain intervalle [x, x + h[, pour un individu prélevé au hasard, soit :

Prob{x ≤ X < x+h} = P(x+h) - P(x)

Cela étant, considérons une population de référence définie par la loi de probabilité d'une certaine variable aléatoire X. Si nous prélevons, au hasard et de façon non exhaustive, un échantillon de taille n, nous observons n valeurs :

x1, x2, ... , xi, ... , xn

dont on peut calculer la moyenne m et la variance s². Mais un autre échantillon de taille n, prélevé au hasard dans la même population, conduirait à d'autres valeurs :

x'1, x'2, ... , x'i, ... , x'n

puis m' et s'² , a priori différentes à cause des fluctuations dues à l'échantillonnage ... Et ainsi de suite, on pourrait répéter ces mesures et ces calculs sur un grand nombre d'échantillons différents.

Les nombres x₁, x'₁, ... peuvent alors être considérés comme des réalisations d'une certaine variable aléatoire X₁, les nombres x₂, x'₂, ... comme des réalisations d'une variable aléatoire X₂, et plus généralement, les nombres x_i, x'_i, ... comme des réalisations d'une variable aléatoire X_i.

Les variables aléatoires X₁, X₂, ..., X_i, ... sont indépendantes (si l'échantillonnage est non exhaustif) et ont même loi de probabilité : celle qui définit la population de référence.

Les valeurs m, m', ... peuvent alors être considérées comme des réalisations d'une variable aléatoire M_n , fonction des variables aléatoires X₁, X₂, ... , X_i, ... X_n:

Mn = 1/n ∑i=1n Xi

La distribution de M_n est appelée distribution d'échantillonnage. Il en est de même de celle de la variable aléatoire :

Sn² = 1/n ∑i=1n (Xi-Mn)²

La détermination des lois d'échantillonnage est fondamentale en statistique. Nous avons déjà étudié une de ces lois : la loi binomiale qui se rencontre chaque fois que l'on étudie un lot de pièces contenant une proportion ϖ de pièces défectueuses et qu'on y prélève, de façon non exhaustive, un échantillon de n pièces. Le nombre K_nde pièces défectueuses contenues dans l'échantillon est une variable aléatoire qui peut prendre les valeurs 0, 1, ... , k, ... , n avec les probabilités :

Prob{Kn = k} = Cnk ϖk (1-ϖ)n-k

La suite fournira plusieurs exemples de lois d'échantillonnage. Nous nous limiterons, dans ce chapitre, à un autre cas particulier concernant, cette fois, une population à caractéristique quantitative.

Distribution De La Moyenne D'un Échantillon Prélevé Dans Une Population Normale

On rencontre très fréquemment, dans la pratique, des populations à caractéristiques quantitatives qui peuvent être raccordées à des populations de référence définies par une loi de probabilité normale :

Prob{X≤x} = 1/(σ.√(2π)) ∫-∞x e-1/2 ((u-μ)/σ)²du

On dit alors que la population est normale de moyenne μ et d'écart-type σ. Considérons la variable aléatoire M_n : moyenne d'un échantillon prélevé au hasard dans une telle population :

Mn = (X1 + X2 + ... + Xn)/n

On a établi qu'une somme de variables indépendantes, suivant des lois normales, suivait elle-même une loi normale de moyenne égale à la somme des moyennes des variables, et de variance égale à la somme de leurs variances. Il en résulte que M_n suit une loi normale de moyenne :

E[Mn]= (E[X1] + E[X2] + ... + E[Xn])/n = μ

et de variance :

σ²[Mn]= (σ²[X1] + σ²[X2] + ... + σ²[Xn])/n² = σ²/n

On peut encore écrire ce résultat très important :

Prob{ |Mn-μ| > u.σ/√(n) } = 2/√(2π) ∫u+∞ e-t²/2 dt

2 - Contrôle Statistique

Contrôle De Fabrication Et Contrôle De Réception

Nous appellerons qualité ω d'un lot, la proportion de pièces défectueuses qu'il contient. La qualité d'une pièce peut, quant à elle, être déterminée, suivant les cas, de deux manières :

• contrôle qualitatif : la pièce est passée au calibre et l'on vérifie si elle correspond ou non aux tolérances imposées par le cahier des charges ;
• contrôle quantitatif : la pièce est mesurée, et l'on vérifie si la valeur obtenue est comprise dans l'intervalle de tolérance.

On distingue encore deux types de contrôle :

• contrôle de fabrication : c'est celui qui est effectué à chaque stade de l'élaboration d'un produit pour limiter la proportion de rebuts ;
• contrôle de réception : c'est celui qui est effectué par le client qui achète une certaine quantité de ce produit et veut vérifier que sa qualité correspond bien à ce qu'il attend.

En fait, leurs méthodes reposent sur les mêmes bases. Nous nous limiterons donc à l'étude du contrôle de réception dans le cas qualitatif, et à celle du contrôle de fabrication dans le cas quantitatif.

Contrôle De Réception

L'objectif du contrôle, dans ce cas, est de porter un jugement sur la proportion ω inconnue de pièces défectueuses contenues dans un lot. En général, deux parties se trouvent en présence, un fournisseur et un client, dont les exigences peuvent se traduire de la façon suivante :

• le fournisseur ne voudrait pas qu'on lui refuse un lot contenant ω₁ ou moins de déchets ;
• le client ne voudrait pas accepter un lot s'il contient ω₀ ou plus de déchets.

Il faut remarquer dès ce stade que ω₁ et ω₀ sont définis à partir de considérations techniques et non statistiques. Le fournisseur peut déterminer ω₁ en fonction de son matériel, de son prix de vente, etc. Le client détermine ω₀ en fonction des conséquences économiques ou techniques qu'entraîne pour lui la présence de pièces défectueuses dans les lots réceptionnés.

Définir une règle de contrôle, va consister à fixer la taille n de l'échantillon à prélever, et une valeur limite c telle que :

• si on trouve moins de c pièces défectueuses parmi les n pièces prélevées, on accepte le lot ;
• si on en trouve plus de c, on le refuse.

Examinons les conséquences d'une telle règle. Connaissant n et c, il est possible, par référence à la loi binomiale, de calculer la probabilité P(ω) d'accepter un lot où la proportion de pièces défectueuses serait égale à une valeur ω donnée quelconque :

P(ϖ) = ∑k=0c Cnk ϖk(1-ϖ)n-k

P(ω) varie avec ω. La courbe représentative de la fonction P(ω) est appelée la courbe d'efficacité de la règle de contrôle.

Elle a la forme indiquée ci-après. Si l'on compare les courbes 1 et 2, on constate que la règle relative à la courbe 2 est plus sévère que celle qui correspond à la courbe 1, la probabilité d'accepter un lot de qualité donnée ω, étant plus faible: on dit qu'elle est plus efficace.

On constate, d'autre-part, qu'à une règle donnée correspond :

• une probabilité α d'accepter un lot présentant une proportion ω₀ de déchets ; c'est le risque du client ;
• une probabilité β de refuser un lot présentant une proportion ω₁ de déchets ; c'est le risque du fournisseur.

Il en résulte qu'il est possible inversement de déterminer la règle du contrôle, c'est à dire n et c, telle que la courbe d'efficacité passe par les deux points {ω₀, α} et {ω₁, 1-β}, à partir des deux relations :

α = ∑k=0c Cnk ϖ0k (1-ϖ0)n-k

1-β = ∑k=0c Cnk ϖ1k (1-ϖ1)n-k

Il est clair qu'aussi petits soient-ils choisis, les risques α et β devront être consentis par le fournisseur et le client.

A la limite en effet, la courbe d'efficacité qui conduirait à accepter avec certitude tout lot contenant une proportion de déchets inférieure à ω₁ et à refuser avec certitude tout lot contenant une proportion de déchets supérieure à ω₂, devrait avoir la forme indiquée ci-après. Seule une inspection à 100 % permettrait de l'obtenir.

Contrôle En Cours De Fabrication

Intervalle de tolérance et déchets

Considérons les pièces usinées sur un tour automatique. Si l'on s'intéresse au diamètre de ces pièces, on constate que, pour un certain réglage de la machine, c'est une variable aléatoire que l'on peut mettre sous la forme :

D = μ + σ U,

où μ est un nombre certain, U une variable normale centrée et réduite, et où σ correspond à la variabilité de la machine et en constitue une caractéristique intrinsèque pour un certain niveau d'usure. La machine sera réglée au mieux si μ est égal à la cote théorique μ₀ prévue pour la pièce.

Mais, même si le réglage représente ce qu'on peut obtenir de mieux sur la machine, dans l'état où elle se trouve, il n'empêchera pas pourtant la production d'une proportion ϖ₀ de pièces défectueuses, c'est-à-dire dont le diamètre sort des limites de tolérance [d₁, d₂] :

ϖ0 = 2 Prob{U > (d2-d1)/2σ }

où U suit une loi normale réduite. On constate que ϖ 0 est d'autant plus grand que σ l'est devant l'intervalle de tolérance.

Règle de contrôle

Le principe du contrôle en cours de fabrication est de prélever à intervalles réguliers n pièces consécutives, de calculer leur moyenne et de vérifier qu'elle tombe à l'intérieur d'un certain intervalle :

[a,b]=[ μ0 - uα/2 σ/√n , μ0 + uα/2 σ/√n ]

u_α/2 désignant la valeur d'une variable normale réduite U, correspondant à la probabilité α telle que :

 α = 2 Prob{U > uα/2 }

Efficacité d'un contrôle

Si la moyenne calculée tombe dans l'intervalle [a, b], on laisse la fabrication se poursuivre ; sinon, on règle la machine. α représente donc le risque de procéder à un réglage de la machine alors qu'elle n'est pas déréglée. C'est la probabilité conditionnelle :

α = Prob{ Mn ∉ [a,b] | μ=μ0 }

Supposons maintenant que la machine se dérègle et que la moyenne de la fabrication devienne μ ≠ μ₀. On peut calculer la probabilité :

P(μ) = Prob{ Mn ∈ [a,b] | μ}

qui désigne le risque de laisser la fabrication se poursuivre alors que la machine est déréglée. On a évidemment:

P(μ0) = 1-α

La courbe représentative de la fonction P(μ) est appelée courbe d'efficacité du contrôle. Pour un risque α donné, l'efficacité croît avec n : on a d'autant plus de chances de détecter un déréglage donné |μ-μ₀| que les échantillons prélevés sont plus importants.

Risque β

Considérons maintenant la valeur μ 1 de μ qui correspond à une proportion ϖ 1 de déchets, que l'on considère comme inadmissible parce que trop importante, et qui est déterminée à partir de considérations techniques et (ou) économiques.

Remarquons que la valeur μ'₁ qui est symétrique de μ₁ par rapport à μ₀ (milieu de l'intervalle de tolérance) correspond au même déréglage |μ-μ₀| et conduit à la même proportion ϖ₁ de déchets.

Ayant ainsi déterminé μ₁, on note généralement β la probabilité P(μ₁) qui est le risque de ne pas régler la machine alors que son déréglage est inadmissible :

β = Prob{Mn ∈[a,b] | μ=μ1}

Choix de la taille de l'échantillon à prélever

Il peut dès lors s'avérer intéressant, au lieu de fixer au départ n et α, de se fixer α et β, et d'en déduire la règle de contrôle, c'est-à-dire n et [a, b], de telle sorte que la courbe d'efficacité passe par les deux points {μ₀, 1-α} et {μ₁, β}.

La figure suivante illustre les deux relations qui permettent de mener facilement les calculs :

Le calcul pratique peut être notablement simplifié en tenant compte du fait que la probabilité :

est presque toujours négligeable et que l'on peut écrire, par conséquent:

Contrôle Progressif

Les règles de contrôle que nous venons d'envisager consistaient, dans le cas qualitatif par exemple, à :

• prélever dans le lot un échantillon de n pièces que l'on examine une à une,
• accepter le lot si on trouve c ou moins de c pièces défectueuses, sinon le refuser.

Il peut être judicieux d'envisager d'autres types de règles de contrôle, telles que l'on accepte le lot si le résultat d'un premier échantillon est bon, qu'on le refuse si ce résultat est mauvais, et qu'on examine un deuxième échantillon si ce résultat est moyen, de manière à confirmer d'une façon ou d'une autre la première opinion qu'on avait pu former. Une telle règle peut s'énoncer ainsi :

• prélever un échantillon de n₁ pièces,
• si on trouve c₁ ou moins de c₁ pièces défectueuses, accepter le lot ; si on en trouve c₂ ou plus de c₂, refuser le lot ; si on en trouve entre c₁ et c₂, prélever un nouvel échantillon de n₂ pièces;
• si le nombre total de pièces défectueuses trouvées dans les deux échantillons est inférieur ou égal à c₃, accepter le lot ; le refuser dans le cas contraire.

Il s'agit là de ce qu'on appelle un plan d'échantillonnage double. On peut utiliser aussi des plans d'échantillonnage multiples où l'on prélève plus de deux échantillons. L'avantage des plans multiples réside dans le fait que, pour une efficacité donnée, ils conduisent à un nombre moyen de pièces prélevées inférieur au nombre de pièces prélevées dans le plan simple équivalent.

Les plans multiples conduisent, à la limite, aux plans progressifs. Dans ce cas, l'effectif de l'échantillon n'est pas précisé à l'avance. On prélève les pièces une à une et, à chaque stade, on calcule le nombre total k_n de pièces défectueuses. Suivant la valeur de k_n, on accepte le lot, ou on le refuse, ou bien on prélève une (n+1)^ème pièce.

Prob{Refus}=1-Prob{Acceptation} = 1-(1-ϖ)3

E[X]=ϖ × 1 + (1-ϖ) ϖ × 2 + (1-ϖ)² × 3

E[X]= 3 - 3 ϖ + ϖ²

ϖ≤1

⇒ ϖ≤ 3

⇒ ϖ²≤ 3 ϖ

⇒-3 ϖ + ϖ² ≤ 0

⇒ 3 - 3 ϖ + ϖ² ≤ 3

(130-110)/8 = 2.5 ⇒ α = 2 × 0.0062 = 0.0124 soit une proportion de déchets de 1.24 %.

μ1 = 90 + 1.645 × 8 = 103.16

μ2 = 90 + 2.054 × 8 = 106.43

a = 103.16 + 1.75 * 8/√n

a = 106.43 - 1.04 * 8/√n

x = 80 + 3.08 * 20/√n

x = 100 - 2.33 * 20/√n

P(μ) = Prob{M29 ≥ 91.5/μ} = Prob{U ≥ u = (91.5-μ)/(20/√29)}